# Ficha 11

# 1.a)

x <- c(1.1,1.1,1.2,1.3,1.3,1.5,1.5,1.5,1.8,2.2,2.3,2.4,2.5,2.7,2.8,2.9,
       3.4,3.6,3.8,3.8,3.9,4.1,4.3,4.5,4.7,4.7,4.8,4.9,4.9,5.0)

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# Cálculo do IC usando directamente as equações das aulas.
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m <- mean(x)
s <- sd(x)
n <- length(x)
gama <- 0.95
lambda <- qnorm((1+gama)/2)
delta <- lambda*s/sqrt(n)
IC <- m+c(-delta,delta)
IC


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# Cálculo do IC usando as funções t.test() e z.test() do R.
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#
# Nota: O R tem duas funções específicas para calcular ICs e THs para
#       médias: t.test() e z.test().
#
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#
#       A função t.test() assume que os dados não estão agrupados,
#       que sigma é desconhecido e que
#
#              T = (Xbar-mu)/(S/sqrt(n)) ~ T(n-1)
#
#       Logo, usa-se t.test() se sigma é desconhecido e:
#       i) X ~ N(mu,sigma^2)
#       ou
#       ii) X não é N(mu,sigma^2) mas n é grande. 
#
#       ---------------------------------------------------------------
#
#       A função z.test() assume que os dados não estão agrupados, que
#       sigma é conhecido e que
#
#              Z = (Xbar-mu)/(sigma/sqrt(n)) ~ N(0,1)
#
#       Logo, usa-se z.test() se sigma é conhecido e: 
#       i) X ~ N(mu,sigma^2)
#       ou
#       ii) X não é N(mu,sigma^2) mas n é grande.
#
#       Nota: A utilização de z.test() requer a instalação e carregamento
#       do pacote "TeachingDemos", com as seguintes instruções:
#
#             > install.packages("TeachingDemos") # Só 1 vez.
#             > library(TeachingDemos) # Em cada nova sessão.
#
#       Mais informação sobre z.test() em www.r-tutor.com.
#
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# IC com t.test(), que usa distribuição T(n-1).
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tt <- t.test(x,alternative="two.sided",conf.level=gama)
ICt <- tt$conf.int
ICt

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# IC com z.test(), que usa distribuição N(0,1).
#----------------------------------------------------------------------
library(TeachingDemos)
zt <- z.test(x,sd=sd(x),alternative="two.sided",conf.level=gama)
ICz <- zt$conf.int
ICz



# 1.c)

m <- 2.7
s <- 1.8
n <- 15
gama <- 0.95
lambda <- qt((1+gama)/2,n-1)
delta <- lambda*s/sqrt(n)
IC <- m+c(-delta,delta)
IC


# 3.a)

ai <- c(0,5,10,15)
bi <- c(5,10,15,20)
xi <- (ai+bi)/2
ni <- c(18,17,16,19)
n <- sum(ni)
m <- sum(xi*ni)/n
s2 <- (sum(xi^2*ni)-n*m^2)/(n-1)
s <- sqrt(s2)
gama <- 0.97
lambda <- qnorm((1+gama)/2)
delta <- lambda*s/sqrt(n)
IC <- m+c(-delta,delta)
IC

# 3.b)

gama <- 0.98
lambda <- qnorm((1+gama)/2)
nA <- n
mA <- m
sA <- s
nB <- 60
mB <- 8.34
sB <- 4.01
delta <- lambda*sqrt(sA^2/nA+sB^2/nB)
IC <- (mA-mB)+c(-delta,delta)
IC


# 4.a)

xi <- 0:3
ni <- c(5,17,16,9)
n <- sum(ni)
m <- sum(xi*ni)/n
s2 <- (sum(xi^2*ni)-n*m^2)/(n-1)
s <- sqrt(s2)
gama <- 0.97
lambda <- qnorm((1+gama)/2)
delta <- lambda*s/sqrt(n)
IC <- m+c(-delta,delta)
IC

# 4.b)

gama <- 0.99
lambda <- qnorm((1+gama)/2)
nA <- n
mA <- m
sA <- s
nB <- 50
mB <- 2.15
sB <- 1.78
delta <- lambda*sqrt(sA^2/nA+sB^2/nB)
IC <- (mA-mB)+c(-delta,delta)
IC


# 4.c)

lambda <- -(mA-mB)/sqrt(sA^2/nA+sB^2/nB)
gama <- 2*pnorm(lambda)-1
gama


# 5.a)

gama <- 0.95
nP <- 20
mP <- 5.4
sP <- 1.5
nB <- 15
mB <- 4.9
sB <- 1.8
df <- nP+nB-2
lambda <- qt((1+gama)/2,df)
s2 <- ((nP-1)*sP^2+(nB-1)*sB^2)/(nP+nB-2)
s <- sqrt(s2)
delta <- lambda*s*sqrt(1/nP+1/nB)
IC <- (mP-mB)+c(-delta,delta)
IC


# 5.b)

# Nota: n >=30 => T(nP+nB-2) = N(0,1)
lambda <- qnorm((1+gama)/2)
s2 <- (sP^2+sB^2)/2
n <- 8*lambda^2*s2
n

# Verificação com N(0,1) (=> lambda = 1.960) confirma que n>=85.
nP <- 84
nB <- nP
s2 <- ((nP-1)*sP^2+(nB-1)*sB^2)/(nP+nB-2)
s <- sqrt(s2)
delta <- lambda*s*sqrt(1/nP+1/nB)
IC <- (mP-mB)+c(-delta,delta)
IC

# Verificação com T(nP+nB-2) (=> lambda = 1.974) requer que n>=86.
nP <- 85
nB <- nP
df <- nP+nB-2
lambda <- qt((1+gama)/2,df)
s2 <- ((nP-1)*sP^2+(nB-1)*sB^2)/(nP+nB-2)
s <- sqrt(s2)
delta <- lambda*s*sqrt(1/nP+1/nB)
IC <- (mP-mB)+c(-delta,delta)
IC